Задачи по математическому моделированию#

В каждой задаче сначала определи известные величины и то, что требуется найти. Запиши связь между величинами и проверь её на примере — затем переходи к коду.

Уровень 1. Переводим ситуацию в выражение#

В этих задачах нужно выделить нужные величины, учесть единицы измерения и составить выражение.

1. Рассада для теплицы#

В теплице подготовили B грядок. На каждой грядке высадят по P кустов. Сколько кустов потребуется всего?

Входные данные: два целых числа B и P (1 ≤ B, P ≤ 1 000 000).

Выходные данные: общее число кустов.

Пример

Ввод: 8 17
Вывод: 136

2. Корм для приюта#

В приюте живут A взрослых собак и K щенков. Взрослой собаке нужно G1 граммов корма в день, щенку — G2 граммов. Сколько граммов корма нужно на D дней?

Входные данные: пять целых чисел A, K, G1, G2, D (0 ≤ A, K ≤ 1 000 000; 1 ≤ G1, G2, D ≤ 1 000 000). Гарантируется, что ответ не превышает 10^18.

Выходные данные: общее количество корма в граммах.

Пример

Ввод: 4 3 250 120 5
Вывод: 6800

3. Аквариум#

Прямоугольный аквариум имеет внутренние размеры L × W × H сантиметров. Определите его вместимость в литрах. В одном литре — 1000 кубических сантиметров. Размеры подобраны так, что вместимость получается целым числом литров.

Входные данные: три целых числа L, W, H (1 ≤ L, W, H ≤ 1 000 000); L · W · H делится на 1000.

Выходные данные: вместимость аквариума в литрах.

Пример

Ввод: 50 20 30
Вывод: 30

4. Дождевая вода для сада#

На крышу площадью S квадратных метров выпал дождь толщиной R миллиметров. В бочку удаётся собрать P процентов всей воды. Сколько литров попадёт в бочку? Известно, что 1 миллиметр дождя на площади 1 м² даёт 1 литр воды. Ответ по условию задачи всегда целый.

Входные данные: три целых числа S, R, P (1 ≤ S, R ≤ 1 000 000; 0 ≤ P ≤ 100). Гарантируется, что S · R · P делится на 100 и ответ не превышает 10^18.

Выходные данные: количество собранной воды в литрах.

Пример

Ввод: 80 12 75
Вывод: 720

Уровень 2. Учитываем остаток и условия#

Здесь недостаточно просто перемножить величины. Нужно заметить неполную группу, порог, стоимость дополнительного шага или остаток материала.

5. Места на открытой лекции#

В каждом ряду аудитории C мест. Организаторы открывают ровно столько рядов, чтобы рассадить N гостей. Сколько свободных мест останется в последнем открытом ряду?

Входные данные: два целых числа N и C (1 ≤ N, C ≤ 1 000 000 000).

Выходные данные: число свободных мест в последнем открытом ряду.

Пример

Ввод: 47 12
Вывод: 1

6. Покраска стены#

Стена имеет форму прямоугольника шириной W и высотой H метров. В стене есть дверь размером D1 × D2 и окно размером X1 × X2 метров. Их не красят. Один литр краски покрывает ровно C квадратных метров. Краска продаётся только целыми литрами, поэтому нужно купить достаточно, чтобы покрыть всю оставшуюся площадь.

Найдите минимальное число литров краски. Проёмы не пересекаются, размеры отверстий не превышают размеры стены, а их площади в сумме меньше площади стены.

Входные данные: семь целых чисел W, H, D1, D2, X1, X2, C (1 ≤ W, H, C ≤ 1 000 000; 1 ≤ D1, D2, X1, X2 ≤ 1 000 000).

Выходные данные: минимальное количество литров краски.

Пример

Ввод: 8 3 1 2 2 1 8
Вывод: 3

7. Пожертвование с поддержкой спонсора#

Для покупки оборудования нужно собрать T рублей. Сейчас собрано M рублей. Спонсор добавляет к каждому новому пожертвованию сумму, равную двум пожертвованным рублям: если участники пожертвовали x рублей, общая сумма увеличится на 3x. Какую минимальную целую сумму x нужно собрать дополнительно?

Входные данные: два целых числа M и T (0 ≤ M, T ≤ 1 000 000 000 000).

Выходные данные: минимальную сумму пожертвований. Если цель уже достигнута, выведите 0.

Пример

Ввод: 730 1000
Вывод: 90

8. Прокат автомобиля#

Первые 120 минут проката стоят B рублей. Если машина возвращена позже, за каждые начавшиеся дополнительные 60 минут нужно доплатить R рублей. Например, дополнительные 1 или 60 минут — это один оплачиваемый час, а 61 минута — уже два. Найдите стоимость проката, если машина была арендована на T минут.

Входные данные: три целых числа T, B, R (1 ≤ T ≤ 1 000 000 000; 0 ≤ B, R ≤ 1 000 000).

Выходные данные: стоимость проката.

Пример

Ввод: 181 500 120
Вывод: 740

Уровень 3. Находим закономерность и строим модель#

В этих задачах помогает рисунок, таблица маленьких примеров или разбор одного повторяющегося шага. После этого нужно вывести общее правило.

9. Фонарики на фестивале#

На фестивале фонарики развешивают рядами. В первом ряду A фонариков. В каждом следующем ряду на D фонариков больше, чем в предыдущем. Всего рядов N. Сколько фонариков развесят?

Входные данные: три целых числа N, A, D (1 ≤ N ≤ 1 000 000 000; 1 ≤ A, D ≤ 1 000 000 000). Гарантируется, что итоговое число не превышает 10^18.

Выходные данные: общее число фонариков.

Пример

Ввод: 4 3 2
Вывод: 24

10. Панели для выставки#

На прямоугольной стене размером W × H сантиметров нужно разместить одинаковые панели размером P × Q. Поворачивать панели нельзя. От краёв стены нужно оставить поля шириной M сантиметров. Между соседними панелями должен быть зазор не менее G сантиметров. Панели располагают ровными рядами и столбцами. Какое максимальное число панелей поместится?

Входные данные: шесть целых чисел W, H, M, P, Q, G (1 ≤ W, H, P, Q ≤ 1 000 000; 0 ≤ M, G ≤ 1 000 000).

Выходные данные: максимальное число панелей.

Пример

Ввод: 100 70 5 20 15 5
Вывод: 9

11. Огород у стены#

Прямоугольный огород одной стороной примыкает к длинной стене. Забор нужен только для трёх остальных сторон. Две стороны длиной x идут перпендикулярно стене, третья сторона длиной y — вдоль неё. Всего есть L метров забора. x и y должны быть целыми положительными числами, забора можно использовать не больше L метров. Найдите максимальную возможную площадь огорода.

Входные данные: целое число L (3 ≤ L ≤ 1 000 000 000).

Выходные данные: максимальная площадь.

Пример

Ввод: 10
Вывод: 12

12. Сложенный лист#

Толщина листа бумаги — T микрометров. Каждый сгиб ровно вдвое увеличивает толщину сложенной части. Найдите минимальное число сгибов, после которых толщина станет не меньше H микрометров. Если изначально толщина уже не меньше H, сгибы не нужны.

Входные данные: два целых числа T и H (1 ≤ T ≤ 1 000 000 000; 1 ≤ H ≤ 1 000 000 000 000 000 000).

Выходные данные: минимальное число сгибов.

Пример

Ввод: 3 40
Вывод: 4

Самопроверка после каждой задачи#

• Что означает каждая величина и в каких она единицах?
• Где появляется неполная группа или остаток?
• Какие части ситуации складываются, а какие повторяются одинаковое число раз?
• Можно ли проверить модель на маленьком примере вручную?
• Если ответ должен быть минимальным или максимальным, почему соседнее значение хуже?